ARITMATIKA
BINER
4.1. Tanda Bilangan
4.1.1. Menyatakan Tanda Bilangan Biner
Pada
kegiatan pembelajaran sebelumnya kita hanya mengenal bilangan
biner positip atau bilangan biner tak bertanda. Sebagai contoh
bilangan biner 8-bit dapat mempunyai nilai antara 0000
00002 = 010 dan 1111 11112 = 25510 yang semuanya bernilai positip. Untuk menyatakan bilangan
desimal negatip diberi tanda ‘-‘ yang
diletakkan di sebelah kiri, misalnya -25510.
Dalam sistem bilangan biner, tanda bilangan negatip disandikan dengan cara tertentu yang mudah dikenal
oleh sistem digital. Bilangan negatip pada bilangan biner, dinyatakan dengan bit yang dikenal dengan bit tanda bilangan (sign bit) diletakkan di
sebelah kiri MSB. Bit tanda bilangan positip diberi tanda
0, dan tanda bilangan
negatip diberi tanda 1. Tabel
4.1. menyatakan bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit,
bit yang paling kiri menunjukkan tanda bilangan dan bit-bit berikutnya menyatakan besarnya
bilangan.
Tabel 4.1.
Nomor
Bit
|
|||||||
7
|
6
26
(64)
|
5
25
(32)
|
4
24
(16)
|
3
23
(8)
|
2
22
(4)
|
1
21
(2)
|
0
20
(1)
|
Tanda Bit
|
Bobot nilai besarnya bilangan
|
||||||
Contoh
0110 0111 = +(64+32+4+2+1) = +10310
1101 0101 = -(+64+16+4+1) =
- 8510
1001 0001 = -(16 + 1) = -1710
0111 1111 = +(64+32+16+8+4+2+1) =
+12710
1111 1111 = -(64+32+16+8+4+2+1) = -
12710
1000 0000 = -0 = 0
0000 0000 = +0 = 0
Dari contoh diatas dapat dilihat, karena besarnya
bilangan hanya tujuh bit
maka bilangan terkecil dan
terbesar yang ditunjukan bilangan biner bertanda yang terdiri dari 8-bit adalah
:[1]111 11112 = - 12710 dan [0]111
11112 = + 12710 dengan bit dalam kurung menunjukkan bit tanda
bilangan.
Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang
terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n – 1. Sementara
itu, untuk
bilangan bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2n-1
– 1. Sehingga, untuk register 8-bit di dalam
mikroprosesor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai terbesar
yang bisa disimpan dalam register tersebut adalah :
M = 2(n-1)
– 1
= 2(8-1)
– 1
= 27
- 1
= 12810
– 1
= 12710
sehingga
register
8-bit mikroprosesor
mempunyai jangkauan – 12710 sampai +12710.
4.1.2. Menyatakan Tanda Bilangan Biner Negatip.
Ada tiga
bentuk yang digunakan menyatakan besarnya bilangan biner negatip yaitu: bentuk
true-magnitude form atau bentuk besaran sebenarnya,
bentuk komplemen 1 dan bentuk komplemen 2.
4.1.2.1. Bentuk True-magnitude
form.
Bentuk
true-magnitude form ditunjukkan pada tabel 4.1. Bit paling kiri selalu
mempresentasikan sign bit (tanda bit) dan
bit-bit berikutnya menyatakan besarnya
bilangan.
Contoh bentuk
true-magnitude form:
101110012
menyatakan bilangan -57 dan 001110012 menyatakan bilangan 57.
4.1.2.2. Bentuk Komplemen
1.
Bentuk
komplemen 1 dari setiap bilangan biner diperoleh dengan cara mengubah setiap 0
pada bilangan biner tersebut menjadi 1 dan setiap 1 pada bilangan biner
tersebut menjadi 0.
Contoh:
Komplemen1 dari 1 0 1 1 0
1 adalah 0 1 0 0 1 0, hasil ini diperoleh dengan cara mengubah setiap 0 pada
bilangan biner menjadi 1 dan setiap 1 pada bilangan biner menjadi 0 sebagai
berikut,
1 0 1
1 0 1 bilangan asli dalam
bentuk true-magnitude form
0 1 0 0 1 0 hasil perubahan ke bentuk komplemen 1.
Dengan cara yang sama komplemen1
dari 011010 adalah 100101.
Untuk
menyatakan bilangan biner negatip dalam bentuk komplemen1 sign bit tidak
dikomplenkan, jadi sign bitnya tetap 1, yang dikomplenkan hanya besaran
bilangannya.
Contoh:
komplemen1 dari -5710 adalah:
Bilangan
-5710 dinyatakan dalam bentuk
true-magnitude form= 1 0 1 1 1 0 0 1
Bilangan
-5710 dinyatakan dalam bentuk
komplemen 1 = 1 1 0 0 0 1 1 0
Sign bit tetap
Dengan cara yang sama
komplemen1 dari -1410 adalah
Bilangan
-1410 dinyatakan dalam bentuk
true-magnitude form= 1 0 0 0 1 1 1 0
Bilangan
-1410 dinyatakan dalam bentuk
komplemen 1 = 1 1 1 1 0 0 0 1
Sign bit tetap
4.1.2.3. Bentuk Komplemen
2.
Bentuk
komplemen 2 dari setiap bilangan biner diperoleh dari bentuk komplemen 1 dan
menambah 1 pada posisi LSB nya.
Contoh:
Bilangan
-5710 dinyatakan dalam bentuk
true-magnitude form= 1 0 1 1 1 0 0 1
Bilangan -5710 dinyatakan dalam bentuk komplemen 1 = 1 1 0 0 0 1 1 0
+ 1
Bilangan
-5710 dinyatakan dalam bentuk
komplemen 2 = 1 1 0 0 0 1 1 1
Sign bit tetap
4.2. Penjumlahan Biner
Penjumlahan bilangan biner serupa dengan penjumlahan pada bilangan
desimal. Dua bilangan yang akan dijumlahkan disusun secara vertikal, digit-digit yang mempunyai signifikansi (bobot) sama
ditempatkan pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika
jumlahnya
lebih besar dari bilangan basisnya
(10 untuk desimal, dan 2 untuk
biner), maka ada bilangan yang disimpan. Bilangan yang disimpan ini
kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan demikian seterusnya. Dalam penjumlahan bilangan biner,
penyimpanan akan terjadi jika jumlah dari dua digit yang dijumlahkan adalah 2 atau lebih.
4.2.1.
Penjumlahan Biner Pada Sistem True-magnitude
form.
Penjumlahan biner pada sistem true-magnitude form
mempunyai aturan dasar untuk penjumlahan sebagai berikut,
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0, simpan 1 untuk ditambahkan pada posisi
berikutnya
Tabel
4.2.a. dan tabel 4.2.b.
menunjukkan perbandingan antara penjumlahan pada sistem bilangan desimal dan
sistem bilangan biner true-magnitude form, tabel 4.2.a. contoh penjumlahan bilangan desimal 82310
+ 23810 dan tabel
4.2.b. contoh penjumlahan bilangan
biner true-magnitude form 110012 + 110112.
Tabel 4.2.a. Penjumlahan sistem bilangan desimal.
103
(1000)
|
102
(100)
|
101
(10)
|
100
(1)
|
|
8
2
|
2
3
|
3
8
|
||
Jumlah
|
1
|
0
|
6
|
1
|
Simpan
|
1
|
0
|
1
|
Dari tabel 4.2.a. diperoleh hasil penjumlahan
bilangan desimal 82310 + 23810 = 106110
Tabel 4.2.b. Penjumlahan sistem bilangan biner
25
(32)
|
24
(16)
|
23
(8)
|
22
(4)
|
21
(2)
|
20
1
|
|
1
1
|
1
1
|
0
0
|
0
1
|
1
1
|
||
Jumlah
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
Simpan
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Dari tabel 4.1.b.diperoleh hasil penjumlahan bilangan
biner 110012+110112.= 1101002.
Langkah
penjumlahan biner pada tabel 4.1.b. dapat
dijelaskan sebagai berikut:
Kolom satuan : 1 + 1 = 0, simpan 1
Kolom 2an : 0 + 1 +
1 (yang disimpan) =
0, simpan 1
Kolom 4an : 0 + 0 +
1 (yang disimpan) = 1
Kolom 8an : 1 + 1 = 0, simpan 1
Kolom 16an : 1 + 1 +
1 (yang disimpan) =
1, simpan 1
Kolom 32an : yang disimpan 1 = 1
Jika
lebih dari dua buah digit biner dijumlahkan, ada kemungkinan yang disimpan
lebih besar dari 1. Sebagai contoh,
1 + 1 = 0, simpan 1
1 + 1 + 1 = 1, simpan 1
Contoh
berikut menunjukkan penjumlahan dengan penyimpanan lebih besar dari 1.
1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1)
= (0, simpan 1) + (0, simpan 1)
= 0, simpan 2;
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + (1 + 1) + (1 + 1)
= 1, simpan 2
4.2.2. Perbedaan Penjumlahan OR dan Penjumlahan
Aritmatik
Penjumlahan OR merupakan
operasi logika Boolean yang dilakukan oleh OR gate, yang menghasilkan output 1
apabila salah satu input atau semua inputnya 1. Adapun penjumlahan biner adalah
suatu operasi aritmatik yang menghasilkan suatu jumlah aritmatik dari dua buah
bilangan biner. Perbedaan penjumlahan OR dan penjumlahan Biner adalah sebagai
berikut:
Penjumlahan OR
Penjumlahan biner
1 + 1 = 1
1 + 1 = 0 + carry 1
1 + 1 + 1 = 1
1 + 1 + 1 = 1 + carry 1
4.2.3. Penjumlahan Biner Pada Sistem Komplemen 2.
Penjumlahan
pada sitem komplemen 2 dan sistem komplemen 1 hampir sama, namun pada umumnya
yang banyak dipakai adalah sistem komplemen 2 karena mempunyai keuntungan pelaksanaan
rangkaiannya lebih mudah. Terdapat beberapa kasus pada penjumlahan biner bentuk
sistem komplemen 2
4.2.3.1. Untuk kasus I
Penjumlahan dua bilangan posistip.
Contoh
penjumlahan bilangan +9 dengan +4 dapat dilakukan sebagai berikut:
+9 0
1 0 0 1 (yang ditambah)
+4 0
0 1 0 0 (yang menambah)
+
0 1 1 0 1 (jumlah = 13)
(sign bit)
Pada
contoh kasus I sign bit dari yang ditambah dan yang menambah keduanya 0 menujukkan
keduanya bilangan positip, demikian juga yang ditambah dan yang menambah jumlah
kedua bitnya dibuat sama.
4.2.2.2. Untuk kasus II
Penjumlahan bilangan posistip dan bilangan negatip yang nilainya lebih kecil.
Contoh
penjumlahan bilangan +9 dengan -4 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah
pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +4 (00100) dalam bentuk
komplemen 2 menjadi -4 (11011+1)=(11100)
+9 0
1 0 0 1 (yang ditambah)
-4 1
1 1 0 0 (yang menambah)
+
Carry dibuang
1 0 0 1 0 1 (jumlah = +5)
Hasilnya 00101 = +5 (sign bit)
Pada
contoh kasus II sign bit yang menambah adalah 1, sama dengan kasus I sign bit
juga ikut dalam proses penjumlahan dan pada contoh ini ternyata pada proses terakhir diperoleh carry. Carry
ini selalu diabaikan sehingga diperoleh
hasil akhir 00101 (+5).
4.2.2.3. Untuk kasus III
Penjumlahan bilangan posistip dan bilangan negatip yang nilainya lebih besar.
Contoh
penjumlahan bilangan +4 dengan -9 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah
pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +9 (01001) dalam bentuk
komplemen 2 menjadi -9 (10110+1)=(10111)
+4 0 0 1 0 0
(yang ditambah)
-9 1
0 1 1 1 (yang menambah)
+
1 1 0
1 1 (jumlah = -5 dalam bentuk
komplemen 2)
(sign bit)
Pada
contoh kasus III menghasilkan sign bit
1, hal ini menunjukkan hasilnya adalah bilangan negatip dengan empat bit yang
lainnya (1011) yang masih dalam bentuk komplemen 2, sehingga hasil akhirnya perlu diubah ke bentuk komplemen
1 (1011-1) = (1010) dan ke bentuk true-magnitude form =(0101)
ekivalen dengan 5, karena hasil sign bitnya 1, maka diperoleh hasil akhir
(1 0101) ekivalen dengan (-5).
4.2.2.4. Untuk kasus IV
Penjumlahan 2 bilangan negatip.
Contoh
penjumlahan bilangan -4 dengan -9 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah
pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +9 (01001) dalam bentuk
komplemen 2 menjadi -9 (10110+1)=(10111)
dan mengubah +4(00100) dalam bentuk komplemen 2
menjadi -4 (11011+1)=(11100)
-9 1
0 1 1 1 (yang ditambah)
-4 1
1 1 0 0 (yang
menambah)
+
Carry dibuang 1 1 0 0
1 1 (jumlah = -13 dalam bentuk
komplemen 2)
(sign bit)
Pada
contoh kasus IV menghasilkan sign bit 1, hal ini menunjukkan hasilnya adalah
bilangan negatip dengan empat bit yang lainnya (0011) yang masih dalam bentuk
komplemen 2, sehingga hasil akhirnya
perlu diubah ke bentuk komplemen 1 (0011-1) = (0010) dan ke bentuk true-magnitude form =(1101)
ekivalen dengan 13, karena hasil sign bitnya 1, maka diperoleh hasil akhir
(1 1101) ekivalen dengan (-13).
4.2.2.5. Untuk kasus V
Penjumlahan bilangan yang sama dengan tanda berlawanan
Contoh
penjumlahan bilangan +9 dengan -9 dapat dilakukan sebagai berikut, langkah
pertama yang harus dilakukan pada kasus ini mengubah +9 (01001) dalam bentuk
komplemen 2 menjadi -9 (10110+1)=(10111)
+9 0
1 0 0 1 (yang ditambah)
-9 1 0 1 1
1 (yang menambah)
+
1 0 0 0 0
(jumlah = 0)
(sign bit diabaikan)
Pada
contoh kasus V proses menunjukkan hasil bilangannya = (0000) ekivalen dengan (0).
4.3. Pengurangan Biner
Metode
yang digunakan pada pengurangan biner sama dengan metode yang digunakan untuk pengurangan pada
bilangan desimal. Dalam pengurangan bilangan biner jika, nilai yang
dikurangi lebih kecil dari pengurangnya maka dibutuhkan pinjam 1 dari kolom di sebelah
kirinya, yaitu kolom yang mempunyai derajat lebih tinggi.
4.3.1.
Pengurangan Biner Pada Sistem True-magnitude
form.
Aturan
umum untuk pengurangan pada bilanagan biner sistem true-magnitude
form adalah sebagai berikut :
0
– 0 = 0
1
– 0 = 1
1
– 1 = 0
0
– 1 = 1, pinjam 1
Contoh : Kurangilah 11112 dengan 01012
Penyelesaian
Susunlah dua bilangan di atas ke dalam
kolom sebagai berikut :
23
(8)
|
22
(4)
|
21
(2)
|
20
(1)
|
|||
1
0
|
1
1
|
1
0
|
1
1
|
|||
Hasil
|
1
|
0
|
1
|
0
|
(tidak ada yang dipinjam)
|
Secara lebih rinci, dimulai dari LSB
(20 = 1)
Kolom
20 1 – 1 = 0
Kolom
21 1 – 0 = 1
Kolom
22 1 – 0 = 0
Kolom
23 1 – 0 = 1
Sehingga, 11112 – 01012
= 10102
Contoh
Kurangilah 11002 dengan 10102
Penyelesaian
23
(8)
|
22
(4)
|
21
(2)
|
20
(1)
|
||
Pinjam
|
1
1
|
1
0
|
à(22)
0
1
|
0
0
|
|
Hasil
|
0
|
0
|
1
|
0
|
Secara lebih terinci, dimulai dari LSB
(20 = 1)
Kolom
20 0 – 0 = 0
Kolom
21 0 – 1 = 1
Dalam kasus ini kita harus meminjam 1
dari bit pada kolom 22. Karena datang dari kolom 22, maka nilainya 2
kali nilai pada kolom 21. Sehingga, 1 (bernilai 22) – 1
(bernilai 21) = 1 (bernilai 21). Bila meminjam 1 dari
kolom di sebelah kiri maka berlaku aturan umum 1 – 1 = 1.
Kolom
22 0 – 0 = 0
Nilai
1 dari kolom 2 diubah menjadi nol karena sudah dipinjam seperti yang
ditunjukkan dengan anak panah.
Kolom 23 1 – 1 = 0
Sehingga, 11002 – 10102
= 00102
4.3.2.
Pengurangan Biner Pada Sistem Komplemen
2.
Operasi
pengurangan biner pada sistem komplemen 2 hampir sama dengan operasi
penjumlahan biner pada sistem komplemen
2. Untuk melakukan proses pengurangan biner
pada sistem komplemen 2 langkah yang
harus dilakukan adalah mempertahankan
bilangan yang dikurangi ke dalam bentuk aslinya dan mengubah bilangan pengurang
menjadi bentuk komplemen 2 termasuk sign
bitnya (mengubah tanda + menjadi tanda – atau sebaliknya), setelah pengurang
diubah menjadi bentuk komplemen 2 langkah selanjutnya adalah menjumlahkan
bilangan yang dikurangi dengan bilangan pengurangnya hasil penjumlahannya
adalah selisih yang dicari.
Contoh
mengurangi bilangan +9 dengan bilangan +4
dapat dilakukan sebagai berikut:
+ 9 0 1 0 0
1 (bilangan yang dikurangi)
- 4 1
1 1 0 0 (bilangan pengurang -4
dalam bentuk komplemen 2)
+
Carry dibuang 1 0 0 1 0 1 (jumlah = +5)
(sign bit)
Pada kasus
proses pengurangan setelah dijumlahkan ternyata diperoleh hasil sgin bit 0 dan proses terakhir diperoleh carry. Carry ini
selalu diabaikan sehingga diperoleh
hasil akhir 00101 (+5).
4.4.
Perkalian
Biner
Perkalian bilangan biner
dapat dilakukan seperti perkalian pada bilangan
desimal. Perkalian pada
bilangan biner mempunyai aturan sebagai berikut :
0
x 0 = 0
1
x 0 = 0
0
x 1 = 0
1
x 1 = 1
Sebagai contoh, untuk mengalikan
11102 = 1410 dengan 11012 = 1310
langkah-langkah yang harus ditempuh adalah :
Biner Desimal
1 1 1 0 1 4
1 1 0 1 1 3
----------------------------- ----------
1 1 1 0 4 2
0 0 0 0 1 4
1 1 1 0
1 1 1 0
----------------------------------- + -------------- +
1 0 1 1 0 1 1 0 1 8 2
Perkalian
juga bisa dilakukan dengan menambah bilangan yang dikalikan ke bilangan itu
sendiri sebanyak bilangan pengali.
Contoh
di atas, hasil yang sama akan diperoleh dengan menambahkan 11102 ke bilangan itu senidiri sebanyak 11012
atau tiga belas kali.
4.5.
Pembagian
Biner
Pembagian pada sistem
bilangan biner dapat dilakukan sama seperti contoh pembagian pada sistem
bilangan desimal.
Sebagai contoh:
Membagi
10012 (910)
(disebut bilangan yang dibagi) dengan 112 (310) (disebut pembagi), dapat dilakukan
dengan langkah-langkah sebagai berikut,
0 0 11 Hasil pembagian (9 : 3 = 3)
Pembagi 1 1 1 0 0
1 Bilangan yang dibagi
0 1 1
0 1 1
0 1 1
0
Sehingga
10012 (910) dibagi
dengan 112(310) hasilnya adalah 112 (310).
Contoh membagi 10102 (1010)
dengan 1002 (410)
0 0 1 0.1 Hasil pembagian (10 : 4= 2.5)
Pembagi 100 1 0 1 0 Bilangan yang dibagi
1 0 0
1 0 0
1 0 0
0
Pembagian
bisa juga dilakukan dengan cara mengurangkan secara berulang kali bilangan pembagi dengan
bilangan yang dibagi
sampai jumlahnya sama dengan bilangan
yang dibagi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar